2022.04.27

Решение задачи про приехавших раньше и опаздывающих.

Задача: Велосипедист должен попасть в место назначения к определенному сроку. Известно, что если он поедет со скоростью 15 км/ч, то приедет на 1 час раньше, а если со скоростью 10 км/ч, то опоздает на 1 час. С какой скоростью он должен ехать?

Ответ: 12 км/ч

Решение 1. Весы, принцип уравнивания.

 

  1. Пусть у нас два велосипедиста:
    a) один быстрый, едет со скоростью 15 км/ч и проезжает все расстояние за t часов,
    b) второй медленный, едет со скоростью 10 км/ч и проезжает расстояние за t+2 часа. Разница во времени медленного и быстрого равна 2-м часам, так как быстрый приезжает на час раньше, а медленный на час позже запланированного времени.
  2. Оба проезжают одинаковое расстояние, что позволяет их уравнять (получаем уравнение).
    Чтобы решить уравнение его надо максимально упростить. Для этого можем убрать из рассмотрения одинаковые части в пройденных расстояниях.
    Что одинаковое у медленного и быстрого?  - Расстояние, которое проехал быстрый со скоростью медленного 10 км/ч*t  и расстояние, которое проехал медленный за время быстрого 10 км/ч*t

    Остается рассмотреть оставшиеся части пути у быстрого и у медленного.

     

  3. Если быстрый поедет со скоростью медленного, то за каждый час его пройденный путь будет на 5 км меньше (не 15км, а 10км, не 30 км, а 20 км и т.д.), сколько часов движется, столько раз будет на 5 км меньше.
    В итоге через время t ему останется еще проехать 5 км/ч * t



     

  4. Если медленный едет столько времени, сколько быстрый, то через время t (время быстрого) ему останется ехать по времени еще 2 часа (разница времени быстрого и медленного) расстояние 2 ч*10 км/ч =20км



  5. Таким образом, теперь у нас уравнены оставшиеся части пути быстрого и медленного 5 км/ч * t = 20 км/ч.
    Что позволяет решить уравнение т.е. t = 4 часа

  6. Время быстрого позволяет найти время медленно +2часа и полный путь:
    Весь путь 15 км/ч * 4 ч = 60 км или
    10км/ч*6 ч = 60 км

  7. Время вовремя - время, за которое нужно проехать полный путь.
    4 ч + 1 ч= 5 ч (поскольку быстрый приехал на 1 час раньше)

  8. Чтобы преодолеть путь 60 км вовремя (за 5 часов) скорость, с которой должен ехать велосипедист равна:
    60 км : 5 ч = 12 км/ч

Ответ: 12 км/ч

 

Решение 2. Метод уравнений.

Пусть t  часов - это время, необходимое велосипедисту, чтобы вовремя попасть в место назначения.

Тогда:

  • двигаясь со скоростью 15 км/ч, он потратит (t – 1) часов, а
  • двигаясь со скоростью 10 км/ч, он потратит (t + 1) часов.

Так как в обоих случаях он проедет одно и то же расстояние, то можно составить уравнение:

15 * (t – 1) = 10 * (t + 1)

Решаем это уравнение:

15 t – 15 = 10 t + 10 

5 t = 25

t =  5 ч

Найдем расстояние до места назначения:

10 * (t+ 1) = 10 *(5 + 1) = 60 км.

Найдем скорость, необходимую, чтобы приехать вовремя: 60 км : 5 ч = 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч

Решение задач на скорость. Типичные ошибки

5:2=2.5 + 10=12.5 [ км/ч ] - скорость, с которой он должен двигаться

Источники и прецеденты использования

Лицей Капицы

• 2022 Экзаменационная работа по математике для поступающих в 5-й класс Физтех-лицея им. П.Л. Капицы.